Solutions des Exercices corrigés suites numériques 2024

Solutions des Exercices corrigés suites numériques

Pour rappel vous trouverez tous les énoncés des exercices corrigés sur les suites numériques en cliquant ci-dessous :

Dans cet article nous allons exposer les solutions des exercices corrigés suites numériques, nous avons essayer d’être les plus clairs et les plus explicites possible.

Aussi, nous vous encourageons fortement à passer un peu de temps sur chaque exercice avant de regarder la solution, ceci afin de vous casser la tête pour bien préparer votre examen et améliorer vos capacités de réflexion.

Définitions des suites numériques

Dans cette partie nous allons définir pour chaque question une explication puis donner les solutions des exercices corrigés suites numériques.

1. $$u_1\;=\;\frac{7\;x\;1\;-\;2}{1\;+\;4}=\;1$$
   $$u_2\;=\;2$$
   $$u_3\;=\;\frac{19}7$$
   $$u_6\;=\;4$$
2. $$u_1\;=\;2\;u_0+3\;=\;7$$
   $$u_2\;\;=\;2u_1+3\;=\;17$$
   $$u_3\;=\;37$$
   On peut clairement apercevoir que c’est une suite définie par récurrence, on pourra donc facilement calculer u₆ on connaissant u₄ et u₅ :
   
   $$u_4\;=\;2u_3\;+\;3\;=\;77$$
   $$u_5\;=\;2u_4\;+\;3\;=\;157$$
   $$u_6=\;2u_5\;+\;3\;=\;317$$
   
3. $$u_1\;=\;2$$ (1 n’est pas un nombre premier)
   $$u_2\;=\;3$$
   $$u_3\;=\;5$$
   $$u_6\;=\;13$$
   
4. $$u_1\;=\;2$$
   $$u_2\;=\;2\;+\;4\;=\;6$$
   $$u_2\;=\;2\;+\;4\;+\;6\;=\;12$$
   $$u_6\;=\;2\;+\;4\;+\;6\;+\;8\;+\;10\;+\;12\;=\;42$$
5. $$u_1\;=\;1$$
   $$u_2\;=\;2$$
   $$u_3\;=\;2$$
   $$u_6\;=\;4$$
6. Afin de pouvoir augmenter un nombre de t%, nous devrons le multiplier par :

u₁ = 1 000 × 1, 025 = 1 025, u₂ = u₁ × 1, 025 = 1 000 × (1, 025)^2 ≈ 1 050,63
u₃ = 1 000 × (1, 025)^3 ≈ 1 076,89 et u₆ = 1 000 × (1, 025)^6 ≈ 1 159,69.

7. u₁ = 1, u₂ = 4, u₃ = 1 et u₆ = 2.

Sens de variation d’une suite

Dans cette partie nous allons définir pour chaque question une explication puis donner les solutions des exercices corrigés suites numériques.

Prérequis :

Définition :

• Un suite (u_n) est croissante à partir d’un rang n₀ si et seulement si :
  Pour tout n ≥ n₀, u_n+1 ≥ u_n.
• Un suite (u_n) est décroissante à partir d’un rang n₀ si et seulement si :
  Pour tout n ≥ n₀, u_n+1 ≤ u_n.
  Pour étudier le sens d’une variation, vous avez le choix entre les trois méthodes ci- dessous, et quelquefois c’est dur de faire le choix de la méthode. Il faudra alors vous fier à votre expérience et à votre maitrise des calculs.
  
  Méthodes :
• La suite (u_n) est croissante à partir du rang n₀ si et seulement si
  Pour tout n ≥ n₀, u_n+1 – u_n ≥ 0
• Pour une suite dont tous les termes sont strictement positifs.
  La suite (u_n) est croissante à partir du rang n₀ si et seulement si:
  Pour tout n ≥ n₀, u_n+1 – u_n ≥ 0
• Soit la suite un définie par u_n = f(n).
  Si la fonction f est croissante sur l’intervalle [n₀;+∞[, alors la suite (u_n) est croissante a partir du rang n₀.
  Attention, pour cette dernière propriété, la réciproque est totalement fausse !
  Il y a des propriétés correspondantes pour une suite décroissante.

1. Pour tout n ∈ N, on a :
   u_n+1 = 3(n + 1) − 5 = 3n − 2, donc :
   u_n+1 − u_n = (3n − 2) − (3n − 5) = 3 > 0 et la suite (u_n) est croissante.
2. Pour tout n ∈ N, u_n+1 − u_n = −(n+1)^2 +5(n+1)−2−(−n^2 +5n−2) = −2n+4.
   Or −2n+4 est positif si et seulement si n ≤ 2 et négatif si et seulement si n ≥ 2, donc la suite (u_n) est décroissante à partir du rang 2.
3. Pour cette question nous allons donner un exemple d’utilisation de chaque méthode pour la même suite :
   Méthode 1 :
   $$u_{n+1}-\;u_n\;=\;\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}\;=\;\frac{\left(n+2\right)^2\;-\;\left(n+1\right)\left(n+3\right)}{\;\left(n+2\right)\left(n+3\right)}\;=\;\frac1{\;\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$$
   
   or n + 2 > 0 et n + 3 > 0 donc u_n+1 − u_n > 0 donc la suite (u_n) est croissante.
   
   Méthode 2 :
   Tous les termes de la suite sont strictement positifs.
   Pour tout n ∈ N :
   
   $$\frac{u_{n+1}}{\;u_n}=\;\frac{n+2}{n+3}\times\frac{n+2}{n+1}\;=\;\frac{n^2+4n\;+\;4}{n^2+4n\;+\;3}$$
   
   or :
   
   $$n^2+4n\;+\;4\;>\;n^2+4n\;+\;3$$
   
   Donc :
   
   $$\frac{u_{n+1}}{\;u_n}>\;1$$
   Et nous pouvons conclure que la suite (u_n) est croissante.
   
   Méthode 3 :
   On a u_n = f(n) avec :
   $$f\;:\;x\;\rightarrow\;\frac{x+1}{x+2}$$
   f est dérivable sur R+ et :
   $$f^{prime}(x)\;=\;\frac{1(x+2)\;-\;1(x+1)}{{(x+2)}^2}>\;0$$
   Nous pouvons donc conclure que la fonction f est croissante sur R+ et donc que la suite (u_n) est croissante.

Commençons donc avec les solutions des exercices corrigés suites numériques

1. Tous les termes de la suite sont strictement positifs.
   Pour tout n ∈ N :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\;=\;\frac{3^{n+1}}2\times\frac2{3^n}=\;3\;>\;1$$
   Nous pouvons donc conclure que la suite (u_n) est croissante.
2. On a : u_n = f(n), avec :
   $$f\;:\;x\;\rightarrow\;\sqrt{x^2+3}$$
   f est dérivable sur R+ et :
   $$f^{prime}(x)\;=\;\frac x{\sqrt{(2x+3)}}>\;0$$
   Nous pouvons donc conclure que f est croissante sur R+ et que que la suite (u_n) est croissante.
3. – Je ne peux pas appliquer la méthode du quotient car tous les termes de la suite ne sont pas strictement positifs.
   – Je ne peux pas appliquer la méthode utilisant une fonction car je ne sais pas
   étudier les variations de :
   $$x\;\rightarrow\;\left(-\frac12\right)^x$$
   – Pour tout n ∈ N, on a :
   $$u_{n+1}-\;u_n\;=\;\left(-\frac12\right)^{n+1}-\;\left(-\frac12\right)^n=\left(-\frac12\right)^n\times\;\left(-\frac12-1\right)=\left(-\frac32\right)\;\times\;\left(-\frac12\right)^n$$
   Or, nous savons que l’expression ci-dessous est positive lorsque « n » est impair et elle est négative lorsque « n » est pair, donc la suite (u_n) n’est ni croissante ni décroissante.
4. Pour tout n ∈ N, u_n+1 − u_n = 3 et la suite (u_n) est croissante.
5. Tous les termes de la suite sont strictement positifs. (pour le prouver rigoureusement, il faudrait une méthode de démonstration qui est au programme de terminale, nous n’allons pas la refaire ici mais nous allons l’admettre) :
   Pour tout n ∈ N :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\;\frac12<\;1$$
   Nous pouvons donc conclure que la suite (u_n) est décroissante.
6. Je pose un = f(n), avec f définie sur [0;+∞[, par :
   $$f(x)\;=\;\sqrt{(x+1)}\;-\;\sqrt x$$
   f est d´erivable sur ]0;+∞[ et :
   $$f^{prime}(x)\;=\frac{\sqrt x-\sqrt{(x+1)}}{2\sqrt x\sqrt{(x+1)}}$$
   Or (x + 1) ≥ x > 0 donc √(x + 1) ≥ √x > 0 et f′(x) ≤ 0. La fonction f est donc décroissante sur ]0;+∞[ et la suite (u_n) est décroissante.

Solutions des exercices suites numériques (Majoration et minoration d’une suite)

Dans cette partie des solutions des exercices corrigés suites numériques nous allons voir le corrigé des exercices de majoration et minoration des suites numériques.

Définition :
Une suite (u_n) est majorée s’il existe un réel M tel que :
pour tout n ∈ N, u_n ≤ M.
– Une suite (u_n) est minorée s’il existe un réel m tel que :
pour tout n ∈ N, un ≥ m.
– Une suite est bornée, lorsqu’elle est majorée et minorée.

Méthodes :
Pour montrer qu’une suite est majorée par un réel M, on peut :
– Travailler sur des inégalités.
– Montrer que la différence u_n −M est positive pour tout n ∈ N.
– Soit u_n = f(n), montrer que f est majorée sur R+.

Commençons donc avec les solutions des exercices corrigés suites numériques

1. Pour tout n ∈ N⋆, on a :
   $$\left(-\frac1n\right)<\;0\;donc\;u_n<\;5\;$$
   ainsi on peut dire que la suite (u_n) est majorée par 5. D’autre part :
   $$n\;\geq\;1\;\;donc\;\frac1n\;\leq\;1\;et\;u_n\;=\;5\;-\;\frac1n\;\geq\;4$$
   ainsi on peut bien dire que la suite (u_n) est minorée par 4.
   La suite (u_n) est bien bornée.
2. Nous allons traiter cette question avec deux méthodes différentes :
   (a) Pour tout n ∈ N :
   $$u_n\;-\;2\;=\;\frac{2n\;+\;1}{n\;+\;2}\;-\;2\;=\;\frac{2n\;+\;1\;-\;2(n+2)}{n\;\;+\;2}=\;\frac{-3}{n+2}$$
   Or :
   $$n\;+\;3\;>\;0\;donc\;\frac{-3}{n\;+\;2}<\;0\;et\;u_n\;-\;2\;<\;0\;\;ce\;qui\;donne\;u_n<\;2$$
   Nous pouvons donc conclure que la suite (u_n) est majorée par 2.
   
   (b) Soit la fonction f suivante :
   $$f\;:\;x\;\rightarrow\;\frac{2x\;+\;1}{x\;+\;2}$$
   f est dérivable sur [0;+∞[ et :
   $$f^{prime}(x)\;=\;\frac{2(x+2)-1(2x+1)}{{(x+2)}^2}=\frac3{{(x+2)}^2}>\;0$$
   $$La\;fonction\;f\;est\;donc\;croissante,\;de\;plus\;f(0)\;=\;\frac12$$
   $$\;donc\;f\;est\;minorée\;par\;\frac12$$
   $$\;et\;par\;conséquent\;la\;suite\;(u_n)\;l’est\;aussi.$$

Continuons les solutions des exercices corrigés suites numériques

3. Pour tout n ∈ N,
   $$u_n-17=-n^2+8n+1-17=-n^2+8n-16=-(n+4)^2<0.$$
   Donc u_n < 17 et la suite (u_n) est majorée par 17.
4. Pour tout n ∈ N :
   $$\sqrt{(n+1)}-\;\sqrt n\;=\;\frac{(\sqrt{(n+1)}-\;\sqrt n)\;(\sqrt{(n+1)}+\;\sqrt n)}{\sqrt{(n+1)}+\;\sqrt n}=\frac1{\sqrt{(n+1)}+\;\sqrt n}$$
   Or :
   $$n\;\geq\;0,\;donc\;\sqrt{(n+1)}\;+\;\sqrt n\;\geq\;1\;et\;0\;\leq\frac{\;1\;}{\sqrt{(n+1)}\;+\;\sqrt n}\leq1$$
   (Car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+∞[.)
   Finalement 0 ≤ u_n ≤ 1, donc la suite (u_n) est bornée par 0 et 1.

Les suites arithmétiques

Dans cette partie des solutions des exercices corrigés suites numériques nous allons voir le corrigé des exercices des suites arithmétiques.

Une suite (un) est dite arithmétique de raison r (r ∈ R) si :
pour tout n ∈ N, u_n+1 = u_n + r.

Méthode :
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on prouve que la différence
u_n+1 – u_n est indépendante de n.
– Le premier terme est u₀ :
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀, alors pour tout
n ∈ N, on a : u_n = u₀ + nr.
– Le premier terme est u₁ :
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₁, alors pour tout
n ∈ N⋆, on a : u_n = u₁ + (n − 1)r.

Nous allons donc utiliser ces méthodes dans les solutions des exercices corrigés suites numériques

– Somme des premiers termes :
Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₀, alors pour tout
n ∈ N, on a :
$$u_0\;+\;u_1\;+\;.\;.\;.\;+\;u_n\;=\;(n\;+\;1)\;\times\;\frac{u_0\;+\;u_n}2\;.$$
Certains préfèrent le retenir sous une des formes suivantes :
$$nombre\;de\;termes\;\times\;\frac{premier\;terme\;+\;dernier\;terme}2$$
Ou bien :
nombre de termes × moyenne entre le premier et le dernier terme.

Commençons donc avec les solutions des exercices corrigés suites numériques

1. Pour tout n ∈ N, u_n+1 – u_n = 3(n + 1) − 2 − 3n + 2 = 3, donc (u_n) est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme u₀ = −2.
2. Le neuvième terme est :
   $$u_8\;=\;5\;+\;8\;\times\;\frac13\;=\;\frac{23}3$$
   $$S\;=\;u_0\;+\;u_1\;+\;.\;.\;.\;+\;u_8\;=\;9\;\times\;\frac{5\;+\;{\displaystyle\frac{23}3}}2\;=\;57.$$
3. $$u_{15}\;=\;u_1\;+\;14\;\times\;(-2)\;=\;-26,\;u_7\;=\;u_1\;+\;6\;\times\;(-2)\;=\;-10$$
   $$sum\;=\;u_7\;+\;u_8\;+\;.\;.\;.\;+\;u_{15}\;=\;9\;\times\;\frac{-10\;-\;26}2\;=\;-162.$$
4. S = 11+14+17+. . .+170+173 est la somme des termes d’une suite arithmétique de premier terme u₀ = 11 et de raison r = 3.
   Soit n l’indice du dernier terme :
   u_n = u₀ + nr ⇔ 173 = 11 + n × 3 ⇔ n = 54, il y a donc 55 termes dans la somme et :
   $$S\;=\;55\;\times\;\frac{11+\;173}2\;=\;5060.$$

Les suites géométriques

Dans cette série de solutions des exercices corrigés suites numériques, nous allons voir la correction des exercices des suites géométriques.

Une suite (u_n) est dite géométrique de raison q (q ∈ R) si :
pour tout n ∈ N, u_n+1 = q × u_n.
Méthode :
Pour démontrer qu’une suite est géométrique, on part de u_n+1 et on
cherche à l’écrire en fonction de u_n.
– Le premier terme est u₀ :
Soit (u_n) une suite géométrique de raison q et de premier terme u₀, alors pour tout
n ∈ N, on a :
$$u_n=u_0\times q^n.$$
– Le premier terme est u₁ :
Soit (u_n) une suite géométrique de raison q et de premier terme u₁, alors pour tout
n ∈ N⋆, on a :
$$u_n=u_1\times q^{n-1}.$$

– Somme des premiers termes :
Soit (u_n) une suite géométrique de raison q ≠ 1 et de premier terme u₀, alors pour
tout n ∈ N, on a :
$$u_0\;+\;u_1\;+\;.\;.\;.\;+\;u_n\;=\;u_0\;\times\;\frac{1\;-\;q^{n+1}}{1\;-\;q}$$
Certains préfèrent le retenir sous la forme suivante :
$$premier\;terme\;\times\;\frac{1\;-\;{raison}^{nombre\;de\;termes}}{1\;-\;raison}\;.$$

Commençons donc avec les solutions des exercices corrigés suites numériques

1. Pour tout n ∈ N :
   $$u_{n+1}\;=\;\frac{7^{n+2}}5\;=\;7\times\;\frac{7^{n+1}}5\;=\;7u_n$$
   $$donc\;(u_n)\;est\;une\;suite\;géométrique\;de\;premier\;terme\;u_0\;=\;\frac75\;et\;de\;raison\;7.$$
2. $$u_7\;=\;u_1\times{(-3)}^6\;=\;\frac1{81}\times{(-3)}^6\;=\;9$$
   et :
   $$S\;=\;u_1+u_2+.\;.\;.+u_7\;=\;\frac1{81}\times\;\frac{1\;-\;{(-3)}^7}{1\;-\;(-3)}=\;\frac{547}{81}\;.$$
3. « Sum » est la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison 2, je cherche l’indice n du dernier terme :
   $$u_n\;=\;u_0\;q^n\Leftrightarrow\;4096\;=\;1\;\times\;2^n\;\Leftrightarrow\;n\;=\;12$$
   $$sum\;=\;1\;\times\;\frac{1\;-\;2^{13}}{1\;-\;2}\;=\;8191.$$
   Remarque :
   Nous ne savons pour l’instant pas résoudre l’équation :
   $$2^n\;=\;4096.$$
   Il faudra donc faire des essais sur votre calculatrice !

Les Suites Arithmético-géométriques

Dans cette partie de solutions des exercices corrigés suites numériques, nous allons voir la correction des exercices des suites arithmético-géométriques.

1. Par simple calcul on obtient :
   $$u_1\;=\;4,\;u_2\;=\;5\;et\;u_3\;=\;\frac{11}2.$$
2. Pour la question 2 : On écrit v_n+1 en fonction de u_n+1, puis en fonction de u_n, puis en fonction de v_n.
   Pour tout n ∈ N, on a :
   $$v_{n+1}\;=\;u_{n+1}\;-\;6\;=\frac12u_n+\;3\;-\;6\;=\;\frac12(v_n+\;6)\;-\;3\;=\;\frac12v_n$$
   Donc la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0.5 et de premier terme v₀ = −4.
3. Pour tout entier naturel n, on a :
   $$v_n\;=\;v_0\;\left(\frac12\right)^n=\;-4\;\times\;\left(\frac12\right)^n$$
   et :
   $$u_n\;=-4\;\times\;\left(\frac12\right)^n+\;6.$$
4. On a :
   $$S\;=-4\;\times\;\left(\frac{1-\left({\displaystyle\frac12}\right)^{10}}{1\;-\;{\displaystyle\frac12}}\right)\;=\;-\frac{1023}{128}$$
   et :
   $$Z\;=u_0\;+\;u_1\;.\;.\;.\;+\;u_9\;=\;v_0\;+\;6\;+\;v_1\;+\;6\;+\;.\;.\;.\;v_9\;+\;6\\Z\;=\;-\frac{1023}{128}+\;6\;\times\;10\;=\;\frac{6657}{128}$$

Représentation graphique d’une suite

Dans cette partie de solutions des exercices corrigés suites numériques, nous allons voir la correction des exercices sur comment représenter graphiquement une suite numérique.

1. $$u_1\;=\;\frac14\;,\;u_2\;=\;\frac7{16}\;,\;u_3\;=\;\frac{37}{64}\;et\;v_1\;=\;\frac{7\;}4\;,\;v_2\;=\;\frac{25}{16}\;,\;v_3\;=\;\frac{91}{64}\;.$$

3. s₀ = 2 , s₁ = 2, s₃ = 2 et s₄ = 2.
   On peut conjecturer que la suite (s_n) est constante et égale à 2.
4. (a) Pout tout n ∈ N, d_n+1 = v_n+1 − u_n+1
   $$=\;\frac{3v_n+1}4-\;\frac{3u_n+1}4\;=\;\frac34(v_n-\;u_n)\;=\;\frac34d_n\;$$
   $$Donc\;(d_n)\;est\;une\;suite\;géométrique\;de\;raison\;\frac34$$
   
   (b) Pour tout n ∈ N :
   $$d_n\;=\;d_0\;\times\;\left(\frac34\right)^n\;=\;2\;\times\;\;\left(\frac34\right)^n\;$$
5. On a :

6. On a :

Problème de Mathématiques

Dans cette dernière partie de solutions des exercices corrigés suites numériques, nous allons voir le corrigé de l’exercice intitulé problème de mathématiques.
Remarques dans cet exercices:

• Pour augmenter une somme de t%, je la multiplie par :
  $$\left(1+\frac t{100}\right)$$
• Pour le contrat 1, je reconnais une suite géométriques.
• Pour le contrat 2, je reconnais une suite arithmétiques.

1. Le premier contrat :
   $$(a)\;u_1\;=\;4\;800\;\times\;1,\;05\;=\;5\;040.$$
   $$(b)\;u_n\;=\;4\;800\;\times\;{1,05}^n\;,\;c’est\;suite\;géométrique.$$
   $$(c)\;u_8\;=\;4\;800\;\times\;{1,05}^8\;\approx\;7\;091,79.$$
   $$(d)\;u_0\;+\;u_1\;+\;.\;.\;.\;+\;u_8\;=\;4800\;\times\;\frac{{1\;-\;1,05}^9}{1\;-\;1,05}\;\;\approx\;52927,51$$
   
2. Le deuxième contrat :
   $$(a)\;v_1\;=\;v_0\;+\;300\;=\;5100.$$
   $$(b)\;v_n\;=\;4800\;+\;300n,\;c’est\;une\;suite\;arithmétique.$$
   $$(c)\;v_8\;=\;7200$$
   $$(d)\;v_0\;+\;v_1\;+\;.\;.\;.\;+\;v_8\;=\;9\;\times\;\frac{4800\;+\;7200}2\;=\;54000.$$
   Ainsi, nous pouvons donc conclure que le premier contrat est bien plus avantageux pour le locataire.

Les suites numériques sont très utilisées dans différents secteurs comme les banques, les compagnies d’assurance, les marchés financiers etc…

Travaillez avec beaucoup de sérieux ces solutions des exercices corrigés suites numériques pour réussir votre examen !